Soal Dan Pembahasan Vektor Matematika Kelas 10

Calon guru sparing matematika dasar SMA silam Soal dan Pembahasan Matematika Bawah Vektor.

Setelah kita sparing dan mengenal vektor secara geometri atau secara analitis, propaganda aljabar lega vektor, proporsi vektor, perkalian skalar dua vektor, dan proyeksi ortogonal vektor. Berikut kita coba menyelesaikaan tanya-pertanyaan vektor yang sudah kawin diujikan lega Penyaringan Bersama Masuk Perserikatan Negeri yang dilaksanakan secara kebangsaan atau mandiri dan pertanyaan-soal puas pemilahan masuk sekolah kedinasan.

---

Konotasi VEKTOR

---

Vektor adalah ruas garis berarah, sehingga suatu vektor memiliki tahapan dan sisi. Menyatakan vektor bisa dengan satu huruf kecil atau dua huruf besar.

Sedangkan vektor nol adalah vektor yang memiliki panjang nol satuan dan tidak mempunyai arah (dilambangkan dengan $\vec{udara murni}$ ) sehingga gambarnya positif sebuah tutul.

---

OPERASI Penjumlahan VEKTOR

---

Terletak dua metode penjumlahan vektor yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.

Misalkan dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sebagaimana susuk di radiks ini

---

Persuasi Penyunatan VEKTOR

---

Vektor subversif $\vec{a}$ ditulis $-\vec{a}$ yaitu vektor yang panjangnya sama dengan tangga vektor $\vec{a}$ namun arahnya berlawanan dengan arah vektor $\vec{a}$.

Sehingga pengurangan vektor adalah penghitungan dengan vektor negatifnya atau $a – b = a + (– b )$.

Paparan pengurangan vektor dapat kita gambarkan sebagai halnya berikut ini:

Laksana lampiran Belajar Mengenal Vektor Secara Geometris yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada karangan Berlatih Mengenal Vektor Secara Geometris.

---

VEKTOR Runcitruncit dan VEKTOR BASIS

---

Vektor Satuan adalah sebuah vektor nan panjangnya satu satuan yang disimbolkan dengan $\hat{a}$. Yang dihtung dengan memperalat rumus:

\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \end{align}

Dimana vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\left| \vec{a} \right|$ yaitu panjang vektor $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.

Vektor Basis yaitu vektor satuan yang arahnya sependapat dengan upet-upet koordinat. Terdapat tiga diversifikasi vektor basis, yaitu:

• $\vec{i}$ yaitu vektor basis yang satu bahasa dengan arah upet $x$ positip.
• $\vec{j}$ yaitu vektor basis nan searah dengan sebelah upet $y$ positip.
• $\vec{k}$ adalah vektor basis yang searah dengan arah sumbu $z$ positip.

Menyatakan vektor $\vec{a}$ secara analitis yaitu menyatakannya dalam gambar persamaan dengan komponen $i$, $j$, dan $k$ dan dinyatakan sebagai $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ atau $\vec{a}=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix}$.

---

PANJANG VEKTOR

---

Dari pola soal di atas, bisa menjadi bukti sederhana bahwa takdirnya vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ maka tangga vektor $\vec{a}$ yang disimbolkan dengan $\left| \vec{a} \right|$ dapat dirumuskan $\left| \vec{a} \right| =\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.

---

OPERASI PENJUMLAHAN dan Ki pemotongan PADA VEKTOR

---

Operasi penjumlahan pada alias pengurangan pada vector secara analitis dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya.

Misalnya $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$, maka boleh kita sambut:
$\begin{align} \vec{a}+\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\ \vec{a}-\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\ \vec{b}-\vec{a} &= \left(b_{1}-a_{1} \right)\vec{i}+\left(b_{2}-a_{2} \right)\vec{j}+\left(b_{3}-a_{3} \right)\vec{k} \end{align}$

Perumpamaan tambahan Belajar Mengenal Vektor Secara Analitis yang dilengkapi dengan tanya latihan dan pembahasan silahkan disimak puas catatan Berlatih Mengenal Vektor Secara Analitis.

---

RUMUS PERBANDINGAN RUAS GARIS

---

Sekiranya $\vec{OA}$ vektor posisinya ialah $\vec{a}$, $\vec{OB}$ vektor posisinya adalah $\vec{b}$ dan $\vec{OP}$ vektor posisinya yaitu $\vec{p}$, maka bikin nisbah $AP:PB=m : n$ bermain $\vec{p}=\dfrac{n \cdot \vec{a}+m \cdot \vec{b}}{m+n}$.

$\begin{align} \vec{AP} : \vec{PB} &= m : n \\ tepi langit\vec{AP} &= m \vec{PB} \\ falak \left(\vec{p}-\vec{a} \right) &= m \left(\vec{b}-\vec{p} \right) \\ tepi langit \vec{p}- n\vec{a} &= m \vec{b}- m\vec{p} \\ m\vec{p} + cakrawala \vec{p} &= m \vec{a}+ t \vec{b} \\ \vec{p} \left( m + horizon \right) &= horizon \vec{a} + m \vec{b} \\ \vec{p} &= \dfrac{n \vec{a} + m \vec{b} }{ m + n } \end{align}$

Dari hasil di atas untuk $A \left( x_{a}, y_{a}, z_{a} \right)$, $B \left( x_{b}, y_{b}, z_{b} \right)$ dan $P \left( x_{p}, y_{p}, z_{p} \right)$ terletak segaris dengan $\vec{AB}$ dan memiliki perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = m : kaki langit$, maka berlaku:
$x_{p}=\dfrac{n \cdot x_{a}+m \cdot x_{b}}{m+n}$, $y_{p}=\dfrac{n \cdot y_{a}+m \cdot y_{b}}{m+n}$, dan $z_{p}=\dfrac{n \cdot z_{a}+m \cdot z_{b}}{m+t}$.

Laksana tambahan Sparing Mengenal Perbandingan Vektor nan dilengkapi dengan tanya latihan dan pembahasan silahkan disimak pada coretan Belajar Mengenal Neraca Vektor.

---

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

---

Jika $\vec{a} = a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ dan $\vec{b} = b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{3}\vec{k}$ maka perkalian skalar $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ secara geometris didefinisikan:

Sebagai apendiks Berlatih Mengenal Perkalian Skalar Dua Vektor yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada tulisan Sparing Mengenal Perkalian Skalar Dua Vektor.

---

PROYEKSI ORTOGONAL Suatu VEKTOR

---

Misalkan vektor $\vec{OA} = \vec{a}$ dan vektor $\vec{OB} = \vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ digambarkan dalam kedudukan seperti berikut ini:

Jika vektor $\vec{a}$ kita proyeksikan puas vektor $\vec{b}$ maka akan kita terima hasil proyeksi lega $\vec{b}$ merupakan $\vec{c}$. Ilustrasinya kita gambarkan seperti berikut ini:

Kalau $\vec{c}$ merupakan vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka panjang $\vec{c}$ (tingkatan proyeksi ini disebut juga proyeksi skalar $\vec{a}$ puas $\vec{b}$) yaitu:
\begin{align} \left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\ \end{align}

Jikalau $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ lega $\vec{b}$ maka paralelisme $\vec{c}$ ialah:
\begin{align} \vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \end{align}

Sebagai tambahan Belajar Mengenal Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor nan dilengkapi dengan tanya latihan dan pembahasan silahkan disimak pada catatan Belajar Mengenal Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor.

Cak bagi menggunung kognisi kita terkait vektor, berikut ayo kita diskusikan beberapa Soal Matematika Dasar SMA Vektor yang sudah lalu pernah di ujikan puas Ujian Nasional, Pemilahan Masuk Perguruan Tingkatan Negeri yang dilaksanakan secara nasional alias mandiri dan Seleksi masuk sekolah kedinasan.

1. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Tanya Lengkap

Diketahui vektor-vektor $\overline{u}= \left (a, a+1, 2 \right )$ dan $\overline{u}= \left ( 1,1,1 \right )$. Jika vektor proyeksi $\overline{u}$ puas $\overline{v}$ ialah $\overline{w}= \left( 2,2,2 \right)$, maka tahapan vektor $\overline{u}$ sepadan dengan...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{5}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \sqrt{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{2}\sqrt{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Proyeksi vektor $\overline{u}$ plong $\overline{v}$ adalah $\overline{w}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \overline{w} &= \left( \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{ \left( \left|\overline{v} \right| \right)^{2}} \right) \overline{v} \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a, a+1, 2 \right ) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) }{ \left( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a \right ) \left ( 1 \right )+\left (a+1 \right ) \left ( 1 \right )+\left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) }{ \left( \sqrt{3} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{a+a+1+2}{ 3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\ \left( 2 \right) \cdot \left( 1,1,1 \right) &= \left( \dfrac{2a+3}{3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \end{align}$

Bermula kesamaan vektor di atas, kita cak dapat:
$\begin{align} \dfrac{2a+3}{3} &= 2 \\ 2a+3 &= 6 \rightarrow a=\frac{3}{2} \\ \hline \overline{u} &= \left (a, a+1, 2 \right) \\ \overline{u} &= \left ( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\ \left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \left (\frac{3}{2} \right )^{2} + \left (\frac{5}{2} \right )^{2} + \left (2\right)^{2} } \\ \left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 } \\ &= \sqrt{ \frac{50}{4} } = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\ \end{align}$

$\therefore$ Seleksian yang sesuai $(D)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$

2. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Pertanyaan Lengkap

Diberikan dua vektor $u$ dan $v$, dengan $u=\left(-1,-2,1 \right)$ dan $v=\left(2,1,1 \right)$. Lautan sudut yang dibentuk maka dari itu kedua vektor tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 45^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 75^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Perkalian skalar dua vektor $u$ dan $v$ adalah $u \cdot v = \left| u \right| \cdot \left| v \right| \cdot cos\ \theta $, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} cos\ \theta &= \dfrac{u \cdot v}{\left| u \right| \cdot \left| v \right|} \\ \hline \left| u \right| &= \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \\ &= \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{6} \\ \left| v \right| &= \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}} \\ &= \sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{6} \\ u \cdot v &= x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}+z_{1} \cdot z_{2} \\ &= (-1)(2)+(-2)(1)+( 1)(1) = -3 \\ \hline cos\ \theta &= \dfrac{-3}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right) } \\ cos\ \theta &= \dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2} \\ \theta &= 120^{\circ} \end{align}$

$\therefore$ Saringan yang sesuai $(E)\ 120^{\circ} $

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap

Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ adalah vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ merupakan $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...

$\begin{align} (A)\ & \left \| u \right \|=2\left \| v \right \| \\ (B)\ & \left \| v \right \|=2\left \| w \right \| \\ (C)\ & \left \| v \right \|=2\left \| u \right \| \\ (D)\ & \left \| w \right \|=2\left \| v \right \| \\ (E)\ & \left \| w \right \|=2\left \| u \right \| \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari segala apa yang diketahui pada soal boleh kta peroleh:
$\begin{align}
& a = 4v\\ & a = 4(w-u)\\ & a = 4w-4u\\ \hline a \cdot u & = 0\\ (4w-4u)u & = 0\\ 4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\ 4w \cdot u & = 4u^{2} \\ w \cdot u & = u^{2} \\ \end{align}$

Sudut antara vektor $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
$\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\ u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ \left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ \left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ 2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \|
\end{split}$

$\therefore$ Saringan yang sesuai ialah $(E)\ \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$

4. Soal UM STIS 2011 |*Soal Teladan

Vektor $\vec{w}$ adalah vektor proyeksi remang verbatim vektor $(a,\ 1-a,\ a)$ pada vektor $(-1,-1,1)$. Jika panjang $\vec{w}$ yakni $\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$, maka diantara poin $a$ berikut ini yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru akan halnya vektor berikut ini bisa jadi membantu;

• Panjang Vektor $ \vec{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ adalah $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
• Hierarki Vektor Proyeksi $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b}$ ialah $\left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right|$
• vektor Proyeksi $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b}$ adalah $\left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \right) \cdot \vec{b}$

$\begin{align}
\vec{w} & = \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\ \left| \vec{w} \right| & = \left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{(a)(-1)+(1-a)(-1)+(a)(1)}{ \sqrt{(-1)^{2}+ (-1)^{2}+ (1)^{2}}} \right| \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{a-1}{ \sqrt{3}} \right| \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{a-1}{ 3}\sqrt{3} \right| \\ 2 \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \left| a-1 \right| \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align} $
Agar nilai $|a-1|=2$ nilai $a$ yang memenuhi yakni $a=3$ atau $a=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ 3$

5. Soal UMPTN 1992 (Lawai B) |*Cak bertanya Teoretis

Diberikan vektor $\vec{OA}= \vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{OB}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$. Titik $P$ pada garis $AB$, sehingga $\left| \vec{AP} \right|=\left| \vec{OB} \right|$, maka $\vec{OA} \cdot \vec{AP}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 5\sqrt{7} \\ (B)\ & 4\sqrt{7} \\ (C)\ & 3\sqrt{7} \\ (D)\ & 2\sqrt{7} \\ (E)\ & \sqrt{7} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambar keadaan titik-noktah pada soal dapat sebagaimana berikut:

Dari gambar di atas dan barang apa yang diketahui pada soal dapat kita terima:
\begin{align} \vec{OA} &= \vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} \\ \vec{AO} &= -\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} \\ \left| \vec{AO} \right| &= \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2} +(-2)^{2}} \\ &= \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \\ \vec{AB} &= (1-1) \vec{i}+(2-1) \vec{j}+(3-2) \vec{k} \\ &= \vec{j} + \vec{k} \\ \left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}} \\ &= \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \\ \hline \left| \vec{OB} \right| =\left| \vec{AP} \right| &= \sqrt{(1)^{2}+(2)^{2} +(3)^{2}} \\ &= \sqrt{1+4 +9} = \sqrt{14} \end{align}

Semenjak multiplikasi skalar dua vektor boleh kita songsong:
\begin{align} \vec{AO} \cdot \vec{AB} &= \left| \vec{AO} \right| \cdot \left| \vec{AB} \right| \cdot \cos \theta \\ (-1)(0)+(-1)(1)+(-2)(1) &= \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos \theta \\ -3 &= \sqrt{12} \cdot \cos \theta \\ \cos \theta &= \frac{-3}{ \sqrt{12}} \\ \hline \vec{OA} \cdot \vec{AP} &= -\vec{AO} \cdot \vec{AP} \\ &= - \left| \vec{AO} \right| \cdot \left| \vec{AP} \right| \cdot \cos \theta \\ &= - \sqrt{6} \cdot \sqrt{14} \cdot \frac{-3}{ \sqrt{12}} \\ &= \sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} \\ &= 3\sqrt{7} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 3\sqrt{7}$

6. Soal UMPTN 1993 (Rayon A) |*Cak bertanya Lengkap

$\vec{a}= 3x\vec{i}+x\vec{j}-4\vec{k}$,
$\vec{b}= -2 \vec{i}+4 \vec{j}+5\vec{k}$,
$\vec{c}= -3 \vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$,
Jika $\vec{a}$ agak gelap lurus pada $\vec{b}$ maka $\vec{a}-\vec{c}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -33 \vec{i}-8 \vec{j}-5\vec{k} \\ (B)\ & -27 \vec{i}-8 \vec{j}-5\vec{k} \\ (C)\ & -27 \vec{i}-12 \vec{j}-5\vec{k} \\ (D)\ & 33 \vec{i}-12 \vec{j}-5\vec{k} \\ (E)\ & -27 \vec{i}-12 \vec{j}-5\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $\vec{a}$ tegak lurus pada $\vec{b}$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (3x)(-2)+(x)(4)+(-4)(5) &= 0 \\ -6x+4x-20 &= 0 \\ -2x-20 &= 0 \\ x &= -10 \end{align}

Bakal $x=-10$ dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{a} - \vec{c} &= \left( 3x-(-3) \right) \vec{i}+\left(x-2 \right) \vec{j}+\left(-4-1 \right) \vec{k} \\ &= \left( -30+3 \right) \vec{i}+\left(-10-2 \right) \vec{j}+\left(-5 \right) \vec{k} \\ &= -27\vec{i}-12 \vec{j}-5 \vec{k} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -27 \vec{i}-12 \vec{j}-5\vec{k}$

7. Soal UMPTN 1993 (Benang C) |*Soal Lengkap

$\vec{a}= -\vec{i}+4\vec{j}$,
$\vec{b}= 2 \vec{i}+ \vec{j}$,
$\vec{c}= 3 \vec{i}-4\vec{j}$,
$\vec{x}= p \vec{a}+q\vec{b}$,
Dengan $p$ dan $q$ bilangan real tidak nol. Jika $\vec{x}$ sejajar $\vec{c}$, maka $p$ dan $q$ menyempurnakan rangkaian.

$\begin{align} (A)\ & 8p-11q=0 \\ (B)\ & 8p+11q=0 \\ (C)\ & 8q-11p=0 \\ (D)\ & 11p-8q=0 \\ (E)\ & 11p+8q=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang diketahui sreg pertanyaan dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{x} &= p \vec{a}+q\vec{b} \\ \vec{x} &= p \left( -\vec{i}+4\vec{j} \right) + q \left( 2 \vec{i}+ \vec{j} \right) \\ &= -p\vec{i}+4p\vec{j} + 2q \vec{i}+ q\vec{j} \\ &= \left( -p+2q \right) \vec{i}+ \left( 4p + q \right) \vec{j} \\ \end{align}

Diketahui $\vec{x}$ sejajar $\vec{c}$ maka dapat kita terima:
\begin{align} k \cdot \vec{c} &= \vec{x} \\ \hline k \cdot \left( 3 \right) &= -p+2q \\ k &= \dfrac{-p+2q}{3} \\ \hline k \cdot \left( -4 \right) &= 4p+q \\ k &= \dfrac{4p+q}{-4} \\ \hline \dfrac{4p+q}{-4} &= \dfrac{-p+2q}{3} \\ 12p+3q &= 4p-8q \\ 12p-4p &= -8q -3q\\ 8p &= -11q\\ 8p +11 q &= 0 \end{align}

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(B)\ 8p+11q=0$

8. Pertanyaan UMPTN 1995 (Rayon B) |*Soal Lengkap

Diketahui $P=\left(a,\ 0,\ 3 \right)$, $Q=\left(0,\ 6,\ 5 \right)$, dan $R=\left(2,\ 7,\ c \right)$. Moga vektor $\vec{PQ}$, tegak lurus sreg $\vec{QR}$, haruslah biji $a-c=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari segala apa yang diketahui puas soal dapat kita terima:
\begin{align} \vec{PQ} &= \left( 0-a,\ 6-0,\ 5-3 \right) \\ &= \left( -a,\ 6,\ 2 \right) \\ \vec{QR} &= \left( 2-0,\ 7-6,\ c-5 \right) \\ &= \left( 2,\ 1,\ c-5 \right) \end{align}

$\vec{PQ}$ tegak verbatim pada $\vec{QR}$ maka bisa kita peroleh:
\begin{align} \vec{PQ} \cdot \vec{QR} &= 0 \\ \left( -a,\ 6,\ 2 \right) \cdot \left( 2,\ 1,\ c-5 \right) &= 0 \\ (-a)(2)+(6)(1)+(2)(c-5) &= 0 \\ -2a+6+2c-10 &= 0 \\ -2a +2c-4 &= 0 \\ - a + c-2 &= 0 \\ - a + c &= 2 \\ a - c &= -2 \end{align}

$\therefore$ Saringan nan sesuai adalah $(B)\ -2$

9. Pertanyaan UMPTN 1997 (Rayon A) |*Soal Lengkap

Vektor $\vec{PQ}=\left(2,\ 0,\ 1 \right)$ dan $\vec{PR}=\left(1,\ 1,\ 2 \right)$. Takdirnya $\vec{PS}=\frac{1}{2} \vec{PQ}$ maka vektor $\vec{RS}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \left(0,\ -1,\ -\frac{3}{2} \right) \\ (B)\ & \left(-1,\ 0,\ \frac{3}{2} \right) \\ (C)\ & \left(\frac{3}{2},\ 1,\ 0 \right) \\ (D)\ & \left(\frac{1}{2},\ 0,\ 1 \right) \\ (E)\ & \left(1,\ -1,\ 1 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berpunca barang apa nan diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{PS} &= \frac{1}{2} \vec{PQ} \\ \vec{PS} &= \frac{1}{2} \cdot \left(2,\ 0,\ 1 \right) \\ &= \left( 1,\ 0,\ \frac{1}{2} \right) \\ \hline \vec{RS} &= \vec{RP}+\vec{PS} \\ &= -\vec{PR}+\vec{PS} \\ &= -\left( 1,\ 1,\ 2 \right)+\left( 1,\ 0,\ \frac{1}{2} \right) \\ &= \left( -1+1,\ -1+0,\ -2+ \frac{1}{2} \right)\\ &= \left( 0,\ -1,\ - \frac{3}{2} \right) \end{align}

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(A)\ \left( 0,\ -1,\ - \frac{3}{2} \right) $

10. Tanya UMPTN 1997 (Makao B) |*Tanya Lengkap

$A=\left(-1,\ 5,\ 4 \right)$, $B=\left(2,\ -1,\ -2 \right)$, $C=\left(3,\ p,\ q \right)$. Jika titik-tutul $A$, $B$, dan $C$ segaris maka biji $p$ dan $q$ berturut-turut adalah...

$\begin{align} (A)\ & -3\ \text{dan}\ -4 \\ (B)\ & -1\ \text{dan}\ -4 \\ (C)\ & -3\ \text{dan}\ 0 \\ (D)\ & -1\ \text{dan}\ 0 \\ (E)\ & 3\ \text{dan}\ 0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari segala apa yang diketahui dan titik-titik $A$, $B$, dan $C$ segaris maka dapat kita sambut:
\begin{align} \vec{AB} &= k \cdot \vec{AC} \\ \left( 2-(-1),\ -1-5,\ -2-4 \right) &= k \cdot \left( 3-(-1),\ p-5,\ q-4 \right) \\ \left( 3,\ -6,\ -6 \right) &= k \cdot \left( 4,\ p-5,\ q-4 \right) \\ \hline 3 &= 4k \longrightarrow k=\frac{3}{4} \\ \hline -6 &= k\ \cdot \left( p -5 \right) \\ -6 &= \frac{3}{4}\ \cdot \left( p -5 \right) \\ -8 &= p -5 \longrightarrow p=-3 \\ \hline -6 &= k\ \cdot \left( q -4 \right) \\ -6 &= \frac{3}{4}\ \cdot \left( q -4 \right) \\ -8 &= q -4 \longrightarrow q=-4 \\ \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -3\ \text{dan}\ -4$

11. Soal UMPTN 1998 (Benang A) |*Soal Arketipe

Pada persegi panjang $OACB$, $D$ adalah titk tengah $OA$ dan $p$ tutul runjam $CD$ dengan diagonal $AB$. Jika $\vec{a}=\vec{OA}$ dan $\vec{b}=\vec{OB}$, maka $\vec{CP}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b} \\ (B)\ & \frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b} \\ (C)\ & -\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b} \\ (D)\ & -\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b} \\ (E)\ & -\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kalau kita gambar kejadian noktah-titik sreg pertanyaan dapat seperti berikut:

Dari buram di atas kita peroleh $\angle DAP = \angle PBC$ dan $\angle APD = \angle CPB$ sehingga $\bigtriangleup CPB$ sebangun dengan $\bigtriangleup APD$. Dapat kita sambut:
\begin{align} \dfrac{\vec{BC}}{\vec{DA}} &= \dfrac{\vec{CP}}{\vec{PD}} \\ \dfrac{\vec{a}}{\frac{1}{2}\vec{a}} &= \dfrac{\vec{CP}}{\vec{PD}} \\ \dfrac{2}{1} &= \dfrac{\vec{CP}}{\vec{PD}} \\ 2\vec{PD} &= \vec{CP} \end{align}

Dari barang apa yang kita eroleh di atas, dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{CP} &= \dfrac{2}{3} \cdot \vec{CD} \\ &= \dfrac{2}{3} \left( \vec{CA}+ \vec{AD} \right) \\ &= \dfrac{2}{3} \left( -\vec{b} -\frac{1}{2}\vec{a} \right) \\ &= -\dfrac{2}{3} \vec{b} -\frac{1}{3}\vec{a} \\ \end{align}

$\therefore$ Sortiran yang sesuai yakni $(C)\ -\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}$

12. Soal UMPTN 1998 (Rayon A) |*Pertanyaan Lengkap

$ABCD$ merupakan sebuah jajaran genjang. Jika $\vec{AD}=\vec{u}$, $\vec{AB}=\vec{v}$ dan besar kacamata $BAD$ adalah $\alpha$, maka akan selalu

$\begin{align} (1)\ & \vec{u}\ \text{tegak verbatim pada}\ \vec{v} \\ (2)\ & \left| \vec{u} + \vec{v} \right| =2 \left| \vec{u} \right|\ \text{alias}\ \left| \vec{u} + \vec{v} \right| =2 \left| \vec{v} \right| \\ (3)\ & \text{proyeksi}| \vec{u}\ \text{pada}| \vec{v}\ \text{merupakan}\ \vec{u}\ \sin \alpha \\ (4)\ & \vec{u}+\vec{v}\ \text{menggermang literal pada}\ \vec{u}-\vec{v} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Pernyataan $(1)$ $\vec{u}\ \text{tegak lurus puas}\ \vec{v}$ yakni pernyataan yang SALAH karena jika $\alpha=90^{\circ}$ maka $ABCD$ adalah sebuah pesegi.

Pernyataan $(2)$ $\left| \vec{u} + \vec{v} \right| =2 \left| \vec{u} \right|$ atau $\left| \vec{u} + \vec{v} \right| =2 \left| \vec{v} \right|$ merupakan pernyataan nan SALAH karena $\left| \vec{u} + \vec{v} \right| \lt 2 \left| \vec{u} \right|$

Pernyataan $(3)$ proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{u}\ \sin \alpha$ merupakan pernyataan nan SALAH karena proyeksi $\vec{u}$ lega $\vec{v}$ adalah $\vec{u}\ \cos \alpha$

Pernyataan $(4)$ $\vec{u}+\vec{v}$ tegak lurus pada $\vec{u}-\vec{v}$ merupakan pernyataan yang Bermoral

$\therefore$ Seleksian nan sesuai adalah $(D)\ \text{Pernyataan (4) Benar}$

13. Soal UMPTN 1999 (Kenur B) |*Soal Lengkap

Diketahui vektor $\vec{a}= 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$ dan titik $P \left(2,\ -1,\ 3 \right)$. Takdirnya pangkat $\vec{PQ}$ ekuivalen dengan panjang $\vec{a}$ dan $\vec{PQ}$ berlawanan sebelah dengan $\vec{a}$ maka koordinat $Q$ merupakan...

$\begin{align} (A)\ & \left(2,\ -4,\ 0 \right) \\ (B)\ & \left(-2,\ 4,\ 0 \right) \\ (C)\ & \left(6,\ -6,\ 6 \right) \\ (D)\ & \left(-6,\ 6,\ -6 \right) \\ (E)\ & \left(-6,\ 0,\ 0 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bersumber barang apa yang diketahui pada soal dapat kita sambut:
\begin{align} \left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(4)^{2}+(5)^{2}+(3)^{2}} \\ &= \sqrt{16+25+9}=\sqrt{50} \end{align}

$\vec{PQ}$ inkompatibel arah dengan $\vec{a}$ maka $\vec{QP}$ searah dengan $\vec{a}$. Jika koordinat $Q \left(x,\ y,\ z \right)$ maka bisa kita peroleh:
\begin{align} \vec{QP} &= k \cdot \vec{a} \\ \left(2-x,\ -1-y,\ 3-z \right) &= k \cdot \left(4,\ -5,\ 3 \right) \\ \left(2-x,\ -1-y,\ 3-z \right) &= \left(4k,\ -5k,\ 3k \right) \end{align}

Panjang $\left| \vec{PQ} \right|=\left| \vec{a} \right|$ atau $\left| \vec{QP} \right|=\left| \vec{a} \right|$ maka dapat kita cak dapat:
\begin{align} \left| \vec{QP} \right| &= \left| \vec{a} \right| \\ \sqrt{(2-x)^{2}+(-1-y)^{2}+(3-z)^{2}} &= \sqrt{50} \\ \sqrt{\left( 4k \right)^{2}+\left( -5k \right)^{2}+\left( 3k \right)^{2}} &= \sqrt{50} \\ 16k^{2}+25k^{2}+9k^{2} &= 50 \\ 50k^{2} &= 50 \\ k &= \pm 1 \end{align}

Bagi $k=1$ kita peroleh $2-x=4\ \longrightarrow x=-2$, $-1-y=-5\ \longrightarrow y=4$ dan $3-z=3\ \longrightarrow z=0$ sehingga $Q \left(-2,\ 4,\ 0 \right)$.

Untuk $k=-1$ kita songsong $2-x=-4\ \longrightarrow x=6$, $-1-y=5\ \longrightarrow y=-6$ dan $3-z=-3\ \longrightarrow z=-6$ sehingga $Q \left(6,\ -6,\ 6 \right)$.

$\therefore$ Seleksian yang sesuai adalah $(B)\ \left(-2,\ 4,\ 0 \right)$

14. Cak bertanya UMPTN 2000 (Lembar B) |*Soal Lengkap

Puas segitiga $ABC$, $E$ ialah titik paruh $BC$ dan $M$ adalah titik berat segitiga tersebut. Kalau $\vec{u}=\vec{AB}$, maka ruas garis berarah $\vec{Me}$, maka ruas garis berarah $\vec{Berpenyakitan}$ bisa dinyatakan dalam $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ perumpamaan

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v} \\ (B)\ & -\frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v} \\ (C)\ & \frac{1}{6}\vec{u}-\frac{1}{6}\vec{v} \\ (D)\ & \frac{1}{6}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v} \\ (E)\ & -\frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $E$ adalah titik tengah $BC$ sehingga dengan menunggangi perbandingan vektor dapat kita terima:
\begin{align} \vec{AE} &= \frac{1 \cdot \vec{AB}+1 \cdot \vec{AC}}{2} \\ \vec{AE} &= \frac{\vec{u}+ \vec{v}}{2} \\ \vec{AE} &= \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v} \end{align}

Titik $M$ adalah tonjolan segitiga sama sehingga $\vec{AM} : \vec{ME}=2:1$ maka bisa kita peroleh:
\begin{align} \vec{Berpenyakitan} &= \frac{1}{3} \cdot \vec{AE} \\ \vec{Me} &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v} \right) \\ &= \frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ \frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v}$

15. Soal UMPTN 2000 (Untai B) |*Soal Lengkap

Puas segiempat sembarang $ABCD$, $S$ dan $N$ sendirisendiri adalah titik paruh $AC$ dan $BD$. Jika $\vec{u}=\vec{ST}$, maka $\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD}$ dapat dinyatakan intern $\vec{u}$ sebagai...

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{4}\vec{u} \\ (B)\ & \frac{1}{2}\vec{u} \\ (C)\ & \vec{u} \\ (D)\ & 2\vec{u} \\ (E)\ & 4\vec{u} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar segiempat di atas boleh kita peroleh $\vec{ST}$ berpokok bilang penjumlahan agar kita munculkan pencacahan $\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD}$, yaitu:
\begin{align} \vec{ST} &= \vec{SC}+\vec{CD}+\vec{DT} \\ \vec{ST} &= \vec{SC}+\vec{CB}+\vec{BT} \\ \vec{ST} &= \vec{SA}+\vec{AB}+\vec{BT} \\ \vec{ST} &= \vec{SA}+\vec{AD}+\vec{DT}\ \ (+) \\ \hline 4 \vec{ST} &= 2\vec{SC}+2\vec{SA}+2\vec{DT}+2\vec{BT}+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\ 4 \vec{u} &= 2\left( \vec{SC}+ \vec{SA}+ \vec{DT}+ \vec{BT} \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\ 4 \vec{u} &= 2\left( \vec{SC}- \vec{AS}+ \vec{DT}- \vec{TB} \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\ 4 \vec{u} &= 2\left( \vec{SC}- \vec{SC}+ \vec{DT}- \vec{DT} \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\ 4 \vec{u} &= 2\left( 0+ 0 \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\ 4 \vec{u} &= \vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\ \end{align}

---

Sebagai alternatif dapat pula dengan menggunakan vektor posisi. Jika kita misalkan vektor posisi titik $A,\ B,\ C,\ D$ adalah $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ \vec{d}$.

Titik $S$ titik tengah $AC$ maka vektor posisinya adalah $\vec{s}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$ dan Titik $Horizon$ titik tengah $BD$ maka vektor posisinya adalah $\vec{horizon}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$.

Dari apa yang kita songsong di atas sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{ST} &= \vec{t}-\vec{s}\\ \vec{u} &= \frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d} - \left( \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c} \right) \\ \vec{u} &= \frac{1}{2} \left( \vec{b}+ \vec{d} - \vec{a}-\vec{c} \right) \\ 2\vec{u} &= \vec{b}+ \vec{d} - \vec{a}-\vec{c} \\ \hline \vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} &= \vec{b}- \vec{a}+\vec{d}- \vec{a}+\vec{b}- \vec{c}+\vec{d}- \vec{c} \\ &= 2\vec{b}- 2\vec{a}+2\vec{d}- 2\vec{c} \\ &= 2 \left( \vec{b}+ \vec{b}- \vec{a}- \vec{c} \right) \\ &= 2 \left( 2\vec{u} \right) \\ &= 4\vec{u} \end{align}

$\therefore$ Pilihan nan sesuai yaitu $(E)\ 4\vec{u}$

16. Pertanyaan UMPTN 2000 (Benang A) |*Tanya Komplet

Pada segiempat rawak $OABC$, $S$ dan $T$ masing-masing ialah titik paruh $OB$ dan $AC$. Jika $\vec{u}=\vec{OA}$, $\vec{v}=\vec{OB}$, dan $\vec{w}=\vec{OC}$, maka ruas garis berarah $\vec{ST}$ bisa dinyatakan dalam $\vec{u}$, $\vec{v}$, dan $\vec{w}$ sebagai

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w} \\ (B)\ & -\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w} \\ (C)\ & \frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w} \\ (D)\ & \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{w} \\ (E)\ & \frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{w} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar segiempat di atas dapat kita cak dapat $\vec{ST}$ berpokok beberapa enumerasi vektor hendaknya kita munculkan $\vec{u}=\vec{OA}$, $\vec{v}=\vec{OB}$, dan $\vec{w}=\vec{OC}$, yaitu:
\begin{align} \vec{ST} &= \vec{SO}+\vec{OA}+\vec{AT} \\ &= \frac{1}{2} \vec{BO}+\vec{u}+\frac{1}{2} \vec{AC}\\ &= -\frac{1}{2} \vec{OB}+\vec{u}+\frac{1}{2} \left( \vec{AO}+\vec{OC} \right) \\ &= -\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{u}+\frac{1}{2} \left( -\vec{OA}+\vec{w} \right) \\ &= -\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{u}+\frac{1}{2} \left( -\vec{u}+\vec{w} \right) \\ &= -\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{w} \\ &= -\frac{1}{2} \vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{w} \\ &= \frac{1}{2}\vec{u} -\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w} \end{align}

---

Sebagai alternatif bisa pula dengan menggunakan vektor posisi. Jikalau kita misalkan vektor posisi titik $O,\ A,\ B,\ C$ yakni $\vec{o},\ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$.

Titik $S$ tutul tengah $OB$ maka vektor posisinya adalah $\vec{s}=\frac{1}{2}\vec{o}+\frac{1}{2}\vec{b}$ dan Tutul $Kaki langit$ titik tengah $AC$ maka vektor posisinya adalah $\vec{t}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$.

Dari segala apa nan kita peroleh di atas sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{ST} &= \vec{t}-\vec{s}\\ &= \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{o} - \frac{1}{2}\vec{v} \\ &= \frac{1}{2} \left(\vec{ozon}+\vec{u} \right)+\frac{1}{2}\left(\vec{udara murni}+\vec{w} \right) - \frac{1}{2}\vec{o}-\frac{1}{2} \left(\vec{o}+\vec{u} \right) \\ &= \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{w} -\frac{1}{2}\vec{u} \end{align}

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w}$

17. Cak bertanya UMPTN 2001 (Lawai A) |*Soal Lengkap

Jika ki perspektif antara vektor $\vec{a}= \vec{i}+\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k}$ dan $\vec{b}= \vec{i}-\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k}$ adalah $60^{\circ}$, maka $p=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \frac{1}{2} \\ (B)\ & -1\ \text{ataupun}\ 1 \\ (C)\ & -\sqrt{2}\ \text{atau}\ \sqrt{2} \\ (D)\ & -\sqrt{5}\ \text{atau}\ \sqrt{5} \\ (E)\ & -\frac{1}{2}\sqrt{5} \text{atau}\ \frac{1}{2}\sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berpokok apa yang diketahui pada soal dan dengan menggunakan aturan perkalian skalar dua vektor, maka dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \theta \\ \left( 1 \cdot 1 \right)+\left( \sqrt{2} \cdot -\sqrt{2} \right)+\left( p \cdot p \right) &= \sqrt{1^{2}+ \left(\sqrt{2} \right)^{2} + p^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+ \left( -\sqrt{2} \right)^{2} + p^{2}} \cdot \cos 60^{\circ} \\ 1-2+p^{2} &= \sqrt{1+2 + p^{2}} \cdot \sqrt{1 + 2 + p^{2}} \cdot \frac{1}{2} \\ -1+p^{2} &= \left( 3 + p^{2} \right) \cdot \frac{1}{2} \\ -2+2p^{2} &= 3 + p^{2} \\ p^{2}-5 &= 0 \\ \left(p-\sqrt{5} \right)\left( p+\sqrt{5} \right) &= 0 \\ p=\sqrt{5},\ \text{atau}\ & p=-\sqrt{5} \end{align}

$\therefore$ Pilihan nan sesuai ialah $(D)\ -\sqrt{5}\ \text{atau}\ \sqrt{5}$

18. Cak bertanya UMPTN 2001 (Sutra B) |*Pertanyaan Paradigma

Jika $\vec{a}= \left(2,k \right)$ dan $\vec{b}= \left(3,5 \right)$ dan $\angle \left(\vec{a},\vec{b} \right)=\frac{\pi}{4}$, maka konstanta maujud $k$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{4} \\ (B)\ & \frac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari segala apa yang diketahui pada pertanyaan dan dengan menggunakan aturan perkalian skalar dua vektor, maka dapat kita terima:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \theta \\ \left( 2 \cdot 3 \right)+\left( k \cdot 5 \right) &= \sqrt{2^{2}+k^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}+5^{2}} \cdot \cos 45^{\circ} \\ 6+5k &= \sqrt{4+k^{2}} \cdot \sqrt{9+25} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \left( 6+5k \right)^{2} &=\left( \sqrt{4+k^{2}} \cdot \sqrt{9+25} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} \\ 36+25k^{2}+60k &=\left( 4+k^{2} \right) \cdot 34 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \\ 36+25k^{2}+60k &=68+17k^{2} \\ 8k^{2}+60k-32 &= 0 \\ 2k^{2}+15k-8 &= 0 \\ \left(2k-1 \right)\left(k+8 \right) &= 0 \\ k=\frac{1}{2}\ & \text{atau}\ k=-8 \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}$

19. Soal UMPTN 2001 (Tali C) |*Pertanyaan Lengkap

Jika $\vec{OA}= \left( 1,2 \right)$, $\vec{OB}= \left( 4,2 \right)$ dan $\theta = \angle \left( \vec{OA},\vec{OB} \right)$, maka $\tan \theta=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{3}{5} \\ (B)\ & \frac{3}{4} \\ (C)\ & \frac{4}{3} \\ (D)\ & \frac{9}{16} \\ (E)\ & \frac{16}{9} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang diketahui plong soal dan dengan menggunakan rasam perkalian skalar dua vektor, maka dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \theta \\ \left( 1 \cdot 4 \right)+\left( 2 \cdot 2 \right) &= \sqrt{1^{2}+ 2^{2}} \cdot \sqrt{4^{2}+ 2^{2}} \cdot \cos \theta \\ 4+4 &= \sqrt{1+4} \cdot \sqrt{16 + 4} \cdot \cos \theta \\ 8 &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} \cdot \cos \theta \\ 8 &= \sqrt{100} \cdot \cos \theta \\ 8 &= 10 \cdot \cos \theta \\ \cos \theta &= \frac{8}{10}=\frac{4}{5} \end{align}

Untuk $\cos \theta =\frac{4}{5}$ kita akan cak dapat $\tan \theta = \frac{3}{4}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{3}{4}$

20. Cak bertanya SPMB 2002 (Regional I) |*Tanya Lengkap

$O$ yaitu titik semula.
$\begin{align} \text{Jika}\ & \vec{a}\ \text{adalah vektor posisi noktah}\ A \\ & \vec{b}\ \text{adalah vektor posisi titik}\ B \\ & \vec{c}\ \text{merupakan vektor posisi titik}\ C \\ \end{align}$
$\vec{CD} = \vec{b}$, $\vec{BE} = \vec{a}$, dan $\vec{DP} = \vec{OE}$ maka vektor posisi noktah $P$ yaitu...

$\begin{align} (A)\ & -\vec{a}-2\vec{b}- \vec{c} \\ (B)\ & \vec{a}-2\vec{b}- \vec{c} \\ (C)\ & \vec{a}+2\vec{b}- \vec{c} \\ (D)\ & \vec{a}+2\vec{b}+ \vec{c} \\ (E)\ & -\vec{a}+2\vec{b}- \vec{c} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Vektor posisi $P$ atau $\vec{OP}$ dari apa yang diketahui di atas kita peroleh:
\begin{align} \vec{CD} &= \vec{b} \\ \vec{OD}-\vec{OC} &= \vec{b} \\ \vec{OD} &= \vec{b} + \vec{OC} \\ \vec{OD} &= \vec{b} + \vec{c} \\ \hline \vec{BE} &= \vec{a} \\ \vec{OE}-\vec{OB} &= \vec{a} \\ \vec{OE} &= \vec{a} + \vec{OB} \\ \vec{OE} &= \vec{a} + \vec{b} \\ \hline \vec{DP} &= \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{OP}-\vec{OD} &= \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{OP} &= \vec{a} + \vec{b}+\vec{OD} \\ \vec{OP} &= \vec{a} + \vec{b}+\vec{b} + \vec{c} \\ \vec{OP} &= \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}$

21. Soal SPMB 2002 (Regional II) |*Soal Contoh

$ABCDEF$ yakni segi-6 beraturan dengan pusat $O$. Bila $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$ sendirisendiri dinyatakan oleh $\vec{u}$ dan $\vec{v}$, maka $\vec{CD}$ seperti

$\begin{align} (A)\ & \vec{u}+\vec{v} \\ (B)\ & \vec{u}-\vec{v} \\ (C)\ & 2\vec{v}-\vec{u} \\ (D)\ & \vec{u}-2\vec{v} \\ (E)\ & \vec{v}-\vec{u} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Seandainya kita lembaga segi-6 beraturan $ABCDEF$ dan vektor yang diketahui dapat seperti berikut:

Mulai sejak gambar di atas kita dapat $\vec{OC}=\vec{AB}$ dan $\vec{OD}=\vec{BC}$ sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{OC}+\vec{CD} &= \vec{OD} \\ \vec{AB}+\vec{CD} &= \vec{BC} \\ \vec{u}+\vec{CD} &= \vec{v} \\ \vec{CD} &= \vec{v}-\vec{u} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ \vec{v}-\vec{u}$

22. Cak bertanya SPMB 2002 (Regional III) |*Tanya Lengkap

Diketahui persegi tataran $OACB$ dan $D$ titik tengah $OA$ dan $CD$ menyusup diagonal $AB$ di $P$. Jika $\vec{OA}=\vec{a}$ dan $\vec{OB}=\vec{b}$, maka $\vec{OP}$ dapat dinyatakan ibarat

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2} \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \\ (B)\ & \frac{1}{3} \left( \vec{a}+\vec{b} \right) \\ (C)\ & \frac{2}{3} \vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \vec{a}+ \frac{2}{3}\vec{b} \\ (E)\ & \frac{1}{2} \vec{a}+ \frac{2}{3}\vec{b} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita kerangka persegi hierarki $OACB$ dan titik-titik pada tanya dapat seperti berikut:

Dari gambar di atas kita peroleh $\angle DPA = \angle BPC$ dan $\angle ADP = \angle BCP$ sehingga $\bigtriangleup DPA$ sebangun dengan $\bigtriangleup CPB$. Bisa kita peroleh:
\begin{align} \dfrac{\vec{DA}}{\vec{BC}} &= \dfrac{\vec{DP}}{\vec{PC}} \\ \dfrac{\frac{1}{2} \vec{a}}{ \vec{a}} &= \dfrac{\vec{DP}}{\vec{PC}} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{\vec{DP}}{\vec{PC}}\\ PC &= 2DP \end{align}

Dari barang apa nan kita peroleh di atas, dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{OP} &= \vec{OD}+\vec{DP} \\ &= \vec{OD}+\frac{1}{3} \vec{PC} \\ &= \frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{3} \left( \vec{DA}+\vec{AC} \right) \\ &= \frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} \right) \\ &= \frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\ &= \frac{4}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\ &= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \end{align}

$\therefore$ Sortiran nan sesuai adalah $(C)\ \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

23. Soal SPMB 2003 (Regional I) |*Pertanyaan Contoh

Diketahui noktah-titik $P \left (1,1 \right )$, $Q \left (5,3 \right )$ dan $R \left ( 2,4 \right )$. Jika titik $S$ merupakan proyeksi titik $R$ lega garis $PQ$, maka panjang $PS=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{5}}{5} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{5}}{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ (E)\ & \sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik $S$ merupakan proyeksi titik $R$ pada garis $PQ$ maka panjang $PS$ dapat kita hitung dengan menggunakan proyeksi vektor $\vec{PR}$ puas $\vec{PQ}$ yakni $\left| \vec{PS} \right|$, sehingga boleh kita peroleh:
$\begin{align} \left| \vec{PS} \right| &= \dfrac{\vec{PR} \cdot \vec{PQ}}{\left|\vec{PQ} \right|} \\ &= \dfrac{\left ( 2-1,\ 4-1 \right ) \cdot \left (5-1,\ 3-1 \right )}{\sqrt{(5-1)^{2}+(3-1)^{2}}} \\ &= \dfrac{\left (1,\ 3 \right ) \cdot \left ( 4,\ 2 \right )}{\sqrt{(4)^{2}+(2)^{2}}} \\ &= \dfrac{(1)(4)+(3)(2)}{\sqrt{16+4}} \\ &= \dfrac{10}{\sqrt{20}} = \dfrac{10}{2\sqrt{5}}=\sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \sqrt{5}$

24. Pertanyaan SPMB 2004 Kode 751 |*Pertanyaan Lengkap

Diketahui bidang catur $ABCD$, $\vec{DA}=\vec{a}$, $\vec{DB}=\vec{b}$, $\vec{DC}=\vec{c}$. Sekiranya titik $Q$ pada $AB$ dengan $AQ : QB = 1 : 2$, dan titik $R$ sreg $BC$ dengan $BR : RC = 1 : 2$ maka $\vec{QR}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \\ (B)\ & \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \\ (C)\ & \dfrac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \\ (D)\ & \dfrac{ -2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}}{3} \\ (E)\ & \dfrac{-2\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}}{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Seandainya kita gambar satah catur $ABCD$ dan titik-noktah yang diketahui plong soal dapat begitu juga berikut:

Berbunga gambar di atas kita peroleh:
$ \begin{align} \vec{QR} &= \vec{QD}+ \vec{DR} \\ \hline \bullet\ & \text{perhatikan}\ \bigtriangleup DAB \\ \vec{DQ} &= \frac{1 \cdot \vec{b}+2 \cdot \vec{a}}{3} \\ &= \frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \\ \bullet\ & \text{perhatikan}\ \bigtriangleup DBC \\ \vec{DR} &= \frac{1 \cdot \vec{c}+2 \cdot \vec{b}}{3} \\ &= \frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \\ \hline \vec{QR} &= \vec{QD}+ \vec{DR} \\ &= -\vec{DQ}+ \vec{DR} \\ &= -\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+ \frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \\ &= -\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

25. Soal SPMB 2004 Kode 150 |*Soal Sempurna

Diketahui segitiga $Leter$ dalam ruang. Jika $\vec{AB}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $\vec{AC}=\vec{i}-\vec{k}$ dan $\beta = \angle Abc $ maka $\tan \beta = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{11}}{6} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{5} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{11}}{5} \\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ (E)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $\beta = \angle ABC $ yakni sudut yang dibentuk oleh $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$.

Berpangkal segala nan diketahui lega soal dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{AB} &= 2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} \\ \vec{BA} &= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \\ \vec{BC} &= \vec{BA}+\vec{AC} \\ &= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}+\vec{i}-\vec{k} \\ &= (-2+1)\vec{i}+(-1+0)\vec{j}+(-1-1)\vec{k} \\ &= -\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} \\ \hline \vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \cos \beta \\ \cos \beta &= \dfrac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{\left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right|} \\ \cos \beta &= \dfrac{(-2)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-2)}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} \\ &= \dfrac{2+1+2}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{1+1+4}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}= \dfrac{5}{6} \end{align}

Kerjakan $\cos \beta=\dfrac{5}{6} $ bisa kita peroleh:

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{11}}{5}$

26. Soal SPMB 2004 Kode 150 |*Cak bertanya Teladan

Diketahui segitiga $ABC$ dalam ruang. Jika $\vec{AB}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $\vec{AC}=\vec{i}-\vec{k}$ dan $\beta = \angle Lambang bunyi $ maka $\tan \beta = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{11}}{6} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{5} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{11}}{5} \\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ (E)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $\beta = \angle Abjad $ yaitu sudut yang dibentuk oleh $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$.

Dari apa nan diketahui pada cak bertanya dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{AB} &= 2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} \\ \vec{BA} &= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \\ \vec{BC} &= \vec{BA}+\vec{AC} \\ &= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}+\vec{i}-\vec{k} \\ &= (-2+1)\vec{i}+(-1+0)\vec{j}+(-1-1)\vec{k} \\ &= -\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} \\ \hline \vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \cos \beta \\ \cos \beta &= \dfrac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{\left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right|} \\ \cos \beta &= \dfrac{(-2)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-2)}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} \\ &= \dfrac{2+1+2}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{1+1+4}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}= \dfrac{5}{6} \end{align}

Bakal $\cos \beta=\dfrac{5}{6} $ dapat kita peroleh:

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{\sqrt{11}}{5}$

27. Cak bertanya SPMB 2004 Kode 150 |*Soal Teoretis

Diketahui vektor $\vec{a}=(2, -1, 2)$ dan $\vec{b}=(4, 10, 8)$. Seyogiannya vektor $\vec{x}=\vec{a}-k\vec{b}$ tegak lurus dengan $\vec{b}$, maka ponten $k$ yakni...

$\begin{align} (A)\ & -\frac{1}{10} \\ (B)\ & -\frac{1}{8} \\ (C)\ & \frac{1}{6} \\ (D)\ & \frac{1}{8} \\ (E)\ & \frac{1}{10} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari segala yang diketahui pada soal boleh kita terima:
\begin{align} \vec{x} &= \vec{a}-k\vec{b} \\ \vec{x} &= \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}-k \begin{bmatrix} 4 \\ 10 \\ -8 \end{bmatrix} \\ \vec{x} &= \vec{a}-k\vec{b} \\ \vec{x} &= \begin{bmatrix} 2-4k \\ -1-10k \\ 2+8k \end{bmatrix} \end{align}

Sebaiknya vektor $\vec{x}$ kabur verbatim dengan $\vec{b}$, maka \begin{align} \vec{x} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (2-4k)(4)+(-1-10k)(10)+(2+8k)(-8) &= 0 \\ 8-16k -10-100k -16-64k &= 0 \\ -180k -18 &= 0 \\ -180k &= 18 \\ k &= \frac{18}{-180} \\ k &= -\frac{1}{10} \end{align}

$\therefore$ Saringan nan sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{10}$

28. Soal UM UGM 2004 Kode 312 |*Soal Lengkap

Jika $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ dan $\vec{s}$ berturut-turut adalah vektor posisi tutul-bintik kacamata jajaran genjang $PQRS$ dengan $PQ$ sejajar $SR$, maka $\vec{s}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \\ (B)\ & \vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \\ (C)\ & \vec{p}-\vec{q}-\vec{r} \\ (D)\ & -\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \\ (E)\ & \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambar keadaan titik-titik sreg tanya dapat begitu juga berikut:

Pecah gambar di atas dan segala nan diketahui pada soal boleh kita cak dapat:
\begin{align} \vec{OS} &= \vec{OP}+\vec{PS} \\ \vec{s} &= \vec{p}+\vec{PQ}+\vec{QR}+\vec{RS} \\ \hline & \vec{SR}=\vec{PQ} \\ & \vec{SR}=-\vec{PQ} \\ \hline \vec{s} &= \vec{p}+\vec{PQ}+\vec{QR}-\vec{PQ} \\ &= \vec{p}+ \vec{QR} \\ &= \vec{p}+ \vec{QO}+\vec{OR} \\ &= \vec{p}- \vec{OQ}+\vec{OR} \\ &= \vec{p}- \vec{q}+\vec{r} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \vec{p}- \vec{q}+\vec{r}$

29. Soal UM UGM 2004 Kode 111 |*Cak bertanya Lengkap

Diketahui vektor $\vec{u}=(2,-1,1)$ dan $\vec{v}=(-1, 1, -1)$. Vektor $\vec{w}$ yang panjangnya satu, tegak literal pada $\vec{u}$ dan tegak lurus plong $\vec{v}$ merupakan...

$\begin{align} (A)\ & \left(0, 0, 1 \right) \\ (B)\ & \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) \\ (C)\ & \left(0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) \\ (D)\ & \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)\\ (E)\ & \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kita misalakan vektor $\vec{w}=(x,y,z)$, bersumber apa yang diketahui pada pertanyaan boleh kita peroleh:

1. Vektor $\vec{w}$ yang panjangnya satu, sehingga berlaku: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
2. Vektor $\vec{w}$ mengalir perlahan-lahan literal pada $\vec{u}$ sehingga berlaku:
   \begin{align} \vec{w} \cdot \vec{u} &= 0 \\ (x)(2)+(y)(-1)+(z)(1) &= 0 \\ 2x-y+z &= 0 \end{align}
3. Vektor $\vec{w}$ merembas lurus pada $\vec{v}$ sehingga berlaku:
   \begin{align} \vec{w} \cdot \vec{v} &= 0 \\ (x)(-1)+(y)( 1)+(z)(-1) &= 0 \\ -x+y-z &= 0 \end{align}

Berpunca persamaan-persamaan yang kita peroleh di atas:
$\begin{align} 2x-y+z &= 0 \\ -x+y-z &= 0\ \ (+) \\ \hline x &= 0 \end{align}$

Bakal $x=0$ maka $y-z= 0$ atau $y=z$, maka bisa kita peroleh: $\begin{align} x^{2}+y^{2}+z^{2} &= 1 \\ 0^{2}+y^{2}+y^{2} &= 1 \\ 2y^{2} &= 1 \\ y^{2} &= \frac{1}{2} \longrightarrow y = \pm \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ z &= y= \pm \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)$

30. Pertanyaan SPMB 2005 Kode 480 |*Soal Lengkap

Diketahui vektor-vektor $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+5\vec{k}$, $\vec{b}= -\vec{i}+2\vec{j}+(3x+2)\vec{k}$, dan $\vec{c}=-2y\vec{i}-\vec{j}+7\vec{k}$. Seandainya $\vec{a}$ dan $\vec{c}$ saban takut lurus lega $\vec{b}$, maka $-\frac{1}{4} \left( 7\vec{a}- \vec{c} \right)$...

$\begin{align} (A)\ & -2 \vec{i}-21\vec{j}+35\vec{k} \\ (B)\ & -8 \vec{i}-20\vec{j}-28\vec{k} \\ (C)\ & 2 \vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k} \\ (D)\ & -2 \vec{i}-5\vec{j}-7\vec{k} \\ (E)\ & 2 \vec{i}+\frac{11}{2}\vec{j}+7\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari barang apa yang diketahui sreg soal dapat kita peroleh:

1. Vektor $\vec{a}$ bersimbah literal pada $\vec{b}$ sehingga berlaku:
   $\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (x)(-1)+(y)(2)+(5)(3x+2) &= 0 \\ -x+2y+15x+10 &= 0 \\ 14x+2y &= -10 \end{align}$
2. Vektor $\vec{c}$ tegak literal pada $\vec{b}$ sehingga bermain:
   $\begin{align} \vec{c} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (-2y)(-1)+(-1)(2)+(7)(3x+2) &= 0 \\ 2y-2+21x+14 &= 0 \\ 21x+2y &= -12 \end{align}$

Dari persamaan-persamaan yang kita cak dapat di atas:
$\begin{align} 14x+2y &= -10 \\ 21x+2y &= -12\ \ (-) \\ \hline -7x &= -2 \\ x &= -\frac{2}{7}\ \longrightarrow y=-3 \end{align}$

Buat $x=-\frac{2}{7}$ dan $y=-3$ maka dapat kita songsong: $\begin{align} -\frac{1}{4} \left( 7\vec{a}- \vec{c} \right) &= -\frac{1}{4} \left( 7x\vec{i}+7y\vec{j}+35\vec{k}+2y\vec{i}+\vec{j}-7\vec{k} \right)\\ &= -\frac{1}{4} \left( -2\vec{i}-21\vec{j}+35\vec{k}-6\vec{i}+\vec{j}-7\vec{k} \right)\\ &= -\frac{1}{4} \left( -8\vec{i}-20\vec{j}+28\vec{k} \right)\\ &= 2\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai merupakan $(C)\ 2 \vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}$

31. Tanya SPMB 2005 Kode 380 |*Cak bertanya Lengkap

Diketahui vektor-vektor $\vec{a}= \left(1,3,3 \right)$, $\vec{b}= \left( 3,2,1 \right)$ dan $\vec{c}= \left(1,-5,0 \right)$. Sudut antara vektor $\left( \vec{a}- \vec{b} \right)$ dan $\left( \vec{a}+ \vec{c} \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 30^{\circ} \\ (B)\ & 45^{\circ} \\ (C)\ & 60^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 1200^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang diketahui pada soal bisa kita sambut:
\begin{align} \vec{a}- \vec{b} &= \left(1-3,\ 3-2,\ 3-1 \right) \\ &= \left(-2,\ 1,\ 2 \right) \\ \vec{a} + \vec{c} &= \left(1+1,\ 3-5,\ 3+0 \right) \\ &= \left( 2,\ -2,\ 3 \right) \end{align}

Berbunga apa nan kita terima di atas dapat kita peroleh:
\begin{align} \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \cdot \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) &= \left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right| \cdot \left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right| \cdot \cos \beta \\ \cos \beta &= \dfrac{\left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \cdot \left( \vec{a}+ \vec{c} \right)}{\left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right| \cdot \left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right|} \\ \cos \beta &= \dfrac{(-2)(2)+( 1)(-2)+(2)(3)}{\sqrt{(-2)^{2}+( 1)^{2}+(2)^{2}} \cdot \sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}+(3)^{2}}} \\ &= \dfrac{-4-2+6}{\sqrt{4+1+4} \cdot \sqrt{4+4+9}} \\ &= \dfrac{0}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{17}}= 0 \\ \beta &= 90^{\circ} \end{align}

$\therefore$ Seleksian yang sesuai adalah $(D)\ 90^{\circ}$

32. Cak bertanya SPMB 2005 Kode 780 |*Cak bertanya Lengkap

Diketahui vektor satuan $\vec{u}=0,8\vec{i}+a\vec{j}$. Jika vektor $\vec{v}= b\vec{i}+ \vec{j}$ meleleh lurus $\vec{u}$, maka $ab=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\frac{18}{20} \\ (B)\ & -\frac{15}{20} \\ (C)\ & -\frac{12}{20} \\ (D)\ & -\frac{9}{20} \\ (E)\ & -\frac{8}{20} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Berpangkal vektor asongan $\vec{u}=0,8\vec{i}+a\vec{j}$ dapat kita peroleh:
\begin{align} \left| \vec{u} \right| &= 1 \\ \sqrt{(0,8)^{2}+(a)^{2}} &= 1 \\ 0,64+a^{2} &= 1 \\ a^{2} &= 1-0,64 \\ a^{2} &= 0,36 \\ a &= \pm 0,6 \end{align}

Vektor $\vec{v}= b\vec{i}+ \vec{j}$ tegak verbatim $\vec{u}$ maka bisa kita peroleh:
\begin{align} \vec{v} \cdot \vec{u} &= 0 \\ (0,8)(b)+(a)(1) &= 0 \\ 0,8b+(0,6)(1) &= 0 \\ 0,8b &= -0,6 \\ b &= -\frac{0,6}{0,8} = -\frac{3}{4} \\ \hline ab &= 0,6 \cdot \frac{-3}{4} \\ &= \frac{3}{5} \cdot \frac{-3}{4} \\ &= -\frac{9}{20} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{9}{20}$

33. Cak bertanya SPMB 2005 Kode 580 |*Tanya Eksemplar

Proyeksi tutul $\left(2,3\right)$ lega garis $y=x$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left( \frac{5}{2},\frac{5}{2} \right) \\ (B)\ & \left( \frac{7}{3},\frac{7}{3} \right) \\ (C)\ & \left( \frac{9}{4},\frac{9}{4} \right) \\ (D)\ & \left( \frac{11}{5},\frac{11}{5} \right) \\ (E)\ & \left( \frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Titik hasil proyeksi $\left(2,3\right)$ pada garis $y=x$ nantinya akan menghasilkan bintik $\left( a,a \right)$.

Sekiranya kita misalkan titik $A \left(2,3\right)$, titik $B \left(a,a\right)$ dan titik $O \left(0,0 \right)$ maka $\vec{BA}$ tegak lurus dengan $\vec{BO}$, sehingga dapat kita songsong:
\begin{align} \vec{BA} \cdot \vec{BO} &= 0 \\ \left(2-a,\ 3-a \right) \cdot \left( 0-a,\ 0-a \right) &= 0 \\ \left(2-a,\ 3-a \right) \cdot \left( -a,\ -a \right) &= 0 \\ (2-a)(-a)+(3-a)(-a) &= 0 \\ -2a+a^{2}-3a+a^{2} &= 0 \\ 2a^{2}-5a &= 0 \\ \left( a \right) \left( 2a - 5 \right) &= 0 \\ a=0\ \text{atau}\ a=\frac{5}{2} & \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(A)\ \left( \frac{5}{2},\frac{5}{2} \right)$

34. Tanya SPMB 2006 Kode 420 |*Cak bertanya Hipotetis

Diberikan vektor-vektor $\vec{a}=x\vec{i}-3x\vec{j}+6y\vec{k}$ dan $\vec{b}=(1-y)\vec{i}+3\vec{j}-(1+x)\vec{k}$ dengan $x \gt 0$. Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sejajar, maka $\vec{a}+3\vec{b}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \vec{0} \\ (B)\ & -7\vec{i}+21\vec{j}+21\vec{k} \\ (C)\ & \vec{i}-3 \vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & 2\vec{i}+3 \vec{j}-3\vec{k} \\ (E)\ & -6\vec{i}-24\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sejajar, maka dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{a} &= k \cdot \vec{b} \\ \begin{bmatrix} x \\ -3x \\ 6y \end{bmatrix} &= k \cdot \begin{bmatrix} 1-y \\ 3 \\ -(1+x) \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x \\ -3x \\ 6y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} k-ky \\ 3k \\ -k-kx \end{bmatrix} \\ \hline -3x &= 3k \\ - x &= k \\ \hline x &= k-ky \\ x &= -x+xy \\ 2x &= xy \longrightarrow y=2 \\ \hline 12 &= -k-kx \\ 12 &= x+x^{2} \\ 0 &= x^{2}+x-12 \\ 0 &= (x+4)(x-3) \\ &x=-4\ \text{ataupun}\ x=3 \end{align}

Cak bagi $x=3$ dan $y=2$ kita songsong vektor $\vec{a}=3\vec{i}-9\vec{j}+12\vec{k}$ dan $\vec{b}=-1\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k}$ sehingga $\vec{a}+3\vec{b}=\vec{0}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \vec{0}$

35. Soal SPMB 2006 Kode 621 |*Soal Eksemplar

Diketahui $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ vektor lega bidang, $\vec{a}+\vec{B}+\vec{c}=0$, $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{b} \perp \vec{c} $ dan $\alpha$ tesmak yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{c}$. Jika luas segitiga yang dibentuk oleh noktah ujung vektor-vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah $5$ satuan luas, maka $\sin \alpha=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\ (B)\ & -\dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $\vec{a}+\vec{B}+\vec{c}=0$ maka ketiga vektor bisa membentuk segitiga dan $\vec{b} \perp \vec{c} $ jika kita gambarkan ketiga vektor dpat sebagai halnya berikut ini:

Hierarki $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$ adalah $\left| \vec{b} \right| = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.

Luas segitiga sama kaki $5$ satuan luas maka dapat kita peroleh: \begin{align} \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{c} \right| &= 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \left| \vec{c} \right| &= 5 \\ \left| \vec{c} \right| &= 2\sqrt{5} \end{align}

Bikin $\left| \vec{b} \right|=\sqrt{5}$ dan $\left| \vec{c} \right|=2\sqrt{5}$ dengan memperalat teorema phytagoras kita songsong $\left| \vec{a} \right|=5$.

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga sama kaki di atas kita peroleh:
$\begin{align} \sin \left( 180^{\circ}-\alpha \right) &= \dfrac{\left| \vec{b} \right|}{\left| \vec{a} \right|} \\ \sin \alpha &= \dfrac{\left| \vec{b} \right|}{\left| \vec{a} \right|} \\ &= \dfrac{ \sqrt{5} }{5}=\dfrac{ 1 }{5}\sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{5}\sqrt{5}$

36. Soal SPMB 2006 Kode 521 |*Soal Contoh

Diketahui $\vec{u}= 4\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ dan $\vec{u}= \vec{i}+ \vec{j}+2\vec{k}$. Ponten takdir aktual $a$ seyogiannya panjang proyeksi vektor $a\vec{u}$ pada $\vec{v}$ begitu juga $10$ ialah...

$\begin{align} (A)\ & 5\sqrt{6} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6}\sqrt{6} \\ (C)\ & \dfrac{6}{5}\sqrt{6} \\ (D)\ & \dfrac{5}{6}\sqrt{5} \\ (E)\ & {6}\sqrt{5} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Hierarki proyeksi vektor $a\vec{u}$ lega $\vec{v}$ panjangnya yakni $10$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} 10 &= \dfrac{a \vec{u} \cdot \vec{v}}{\left|\vec{v} \right|} \\ 10 &= \dfrac{a \left ( 4,\ 2,\ 3 \right ) \cdot \left (1,\ 1,\ 2 \right )}{\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}} \\ 10 &= \dfrac{(4a)(1)+(2a)(1)+(3a)(2)}{\sqrt{1+1+4}} \\ 10 &= \dfrac{ 12a}{\sqrt{6}} \\ 10\sqrt{6} &= 12a \\ a &= \dfrac{10\sqrt{6}}{12} \\ a &= \dfrac{5}{6} \sqrt{ 6 } \end{align}$

$\therefore$ Seleksian yang sesuai $(B)\ \dfrac{5}{6}\sqrt{6}$

37. Pertanyaan UM UGM 2006 Kode 372 |*Soal Contoh

Sekiranya proyeksi vektor $\vec{u}= 3\vec{i}+4\vec{j}$ ke vektor $\vec{v}= -4\vec{i}+ 8\vec{j} $ adalah vektor $\vec{w}$, maka $\left| \vec{w} \right|$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \sqrt{5} \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & \sqrt{3} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Proyeksi vektor $ \vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{w}$, sehingga dapat kita terima:
$\begin{align} \left| \vec{w} \right| &= \dfrac{ \vec{u} \cdot \vec{v}}{\left|\vec{v} \right|} \\ &= \dfrac{ \left ( 3,\ 4 \right ) \cdot \left( -4,\ 8 \right)}{\sqrt{(-4)^{2}+(8)^{2}}} \\ &= \dfrac{(3)(-4)+(4)(8) }{\sqrt{16+64}} \\ &= \dfrac{20}{\sqrt{80}} = \dfrac{20}{\sqrt{16 \cdot 5}} \\ &= \dfrac{20}{4\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}= \sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai $(A)\ \sqrt{5}$

38. Soal UM UGM 2007 Kode 731 |*Soal Contoh

Diketahui vektor-vektor $\vec{a}= \left(2,\ 2,\ z \right)$, $\vec{b}= \left(-8,\ y,\ -5 \right)$, $\vec{c}= \left(x,\ 4y,\ 4 \right)$, dan $\vec{d}= \left(2x,\ 22-z,\ 8 \right)$. Jika vektor $\vec{a}$ seram lurus dengan vektor $\vec{b}$ dan vektor $\vec{c}$ setinggi dengan vektor $\vec{d}$, maka $y+z=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & -5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Vektor $\vec{a}$ agak gelap harfiah dengan vektor $\vec{b}$ sehingga dapat kita sambut: \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ \left(2,\ 2,\ z \right) \cdot \left(-8,\ y,\ -5 \right) &= 0 \\ (2)(-8)+(2)(y)+(z)(-5) &= 0 \\ -16+2y-5z &= 0 \\ 2y-5z &= 16 \end{align}

vektor $\vec{c}$ separas dengan vektor $\vec{b}$ sehingga dapat kita peroleh: \begin{align} \vec{c} &= k \cdot \vec{d} \\ \left(x,\ 4y,\ 4 \right) &= k \cdot \left(2x,\ 22-z,\ 8 \right) \\ \left(x,\ 4y,\ 4 \right) &= \left(2kx,\ 22k-zk,\ 8k \right) \\ \hline x &= 2kx \longrightarrow k=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2} \\ 4y &= 22k-zk \\ 4y &= 22 \cdot \frac{1}{2}-z \cdot \frac{1}{2} \\ 8y+z &= 22 \end{align}

Dari persamaan-kemiripan yang kita peroleh di atas:
$\begin{align} 2y-5z &= 16\ \times 4 \\ 8y+z &= 22\ \times 1 \\ \hline 8y-20z &= 64 \\ 8y+z &= 22\ \ \ (-) \\ \hline -21z &= 42 \\ z &= -2\ \longrightarrow y=3 \\ y+z &= 3-2=1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai ialah $(D)\ 1$

39. Soal SNMPTN 2008 Kode 212 |*Tanya Lengkap

Diketahui vektor $\vec{a}= -4x\vec{i}+2\vec{j}$ dan $\vec{b}= 3\vec{i}+ x\vec{j}$, $x$ bulat positif. Vektor $\vec{p}$ merupakan proyeksi $\vec{a}$ ke $\vec{b}$ dan $\alpha$ sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{p}$. Jika konstanta $\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$, maka $\vec{p}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 3\vec{i}+ \vec{j} \\ (B)\ & -3\vec{i}+ \vec{j} \\ (C)\ & 3\vec{i} - \vec{j} \\ (D)\ & -2\vec{i}+ 2\vec{j} \\ (E)\ & -3\vec{i} - \vec{j} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Proyeksi vektor $ \vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\vec{p}$, sehingga bisa kita peroleh:
$\begin{align} \left| \vec{p} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| } \\ &= \dfrac{ (-4x)(3)+(2)(x) }{ \sqrt{3^{2}+x^{2}} } \\ &= \dfrac{ -12x+2x }{ \sqrt{x^{2}+9} } \end{align}$

Diketahui $\alpha$ tesmak yang dibentuk maka itu $\vec{a}$ dan $\vec{p}$, sehingga dapat kita peroleh:

$\begin{align} \cos \alpha &= \dfrac{\left| \vec{p} \right|}{\left| \vec{a} \right|} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &= \dfrac{\frac{ -10x }{ \sqrt{x^{2}+9} }}{\sqrt{(-4x)^{2}+2^{2}}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &= \dfrac{\frac{ -10x }{ \sqrt{x^{2}+9} }}{\sqrt{16x^{2}+4}} \\ \sqrt{16x^{2}+4} &= \dfrac{ -10x\sqrt{2} }{ \sqrt{x^{2}+9} } \\ 16x^{2}+4 &= \dfrac{ 200x^{2} }{ x^{2}+9 } \\ 4x^{2}+1 &= \dfrac{ 50x^{2} }{ x^{2}+9 } \\ 4x^{4}+36x^{2}+ x^{2}+9 &= 50x^{2} \\ 4x^{4}-13x^{2}+9 &= 0 \\ \left( 4x^{2}-9 \right)\left( x^{2}-1 \right) &= 0 \\ \left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x -1 \right) &= 0 \\ x=\frac{3}{2},\ x=-\frac{3}{2},\ x=-1,\ x=1 & \\ \end{align}$

Untuk $x=1$, maka proyeksi vektor $\vec{a}= -4\vec{i}+2\vec{j}$ pada $\vec{b}= 3\vec{i}+ \vec{j}$ adalah $\vec{p}$, sehingga bisa kita peroleh:
$\begin{align} \vec{p} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\ &= \left( \dfrac{ (-4)(3)+(2)(1) }{\left(\sqrt{3^{2}+(1)^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right ) \\ &= \left( \dfrac{ -12 +2 }{ 9+1 } \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right ) \\ &= \left( \dfrac{ -10 }{ 10 } \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right ) \\ &= \left( -1 \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right )=-3\vec{i} - \vec{j} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -3\vec{i} - \vec{j}$

40. Soal UM UGM 2008 Kode 472 |*Cak bertanya Lengkap

Pangkat proyeksi vektor $\left( a,\ 5, -1 \right)$, plong vektor $\left( 1,\ 4, 8 \right)$ yaitu $2$, maka $a=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kalau $\vec{c}$ yaitu vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ lega $\vec{b}$ maka panjang $\vec{c}$ merupakan:
\begin{align} \left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\ \end{align}

Hierarki proyeksi vektor $\left( a,\ 5, -1 \right)$ pada vektor $\left( 1,\ 4, 8 \right)$ adalah $2$, sehingga dapat kita terima:
$\begin{align} 2 &= \dfrac{\left( a,\ 5, -1 \right) \cdot \left( 1,\ 4, 8 \right)}{\sqrt{(1)^{2}+(4)^{2}+(8)^{2}}} \\ 2 &= \dfrac{(a)(1)+(5)(4)+(-1)(8)}{\sqrt{1+16+64}} \\ 2 &= \dfrac{a+20-8}{\sqrt{81}} \\ 2 &= \dfrac{a+12}{9} \\ 18 &= a+12 \longrightarrow a=6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 6$

41. Pertanyaan SNMPTN 2009 Kode 176 |*Tanya Lengkap

Vektor yang ialah proyeksi vektor $\left(2,\ 1,\ 0 \right)$ pada $\left(3,\ 1,\ 2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}\left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ (B)\ & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ (C)\ & \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ (D)\ & \frac{1}{3}\left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ (E)\ & \frac{1}{\sqrt{3}}\left(3,\ 1,\ 2 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Sekiranya $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ lega $\vec{b}$ maka pertepatan $\vec{c}$ adalah:
\begin{align} \vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \end{align}

Proyeksi vektor $\left(2,\ 1,\ 0 \right)$ pada $\left(3,\ 1,\ 2 \right)$ yakni:
$\begin{align} &\left( \dfrac{ \left(2,\ 1,\ 0 \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) }{\left(\sqrt{3^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ &=\left( \dfrac{ (2)(3)+(1)(1)+(0)(2) }{\left(\sqrt{9+1+4} \right)^{2}} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ &=\left( \dfrac{ 6+1+0 }{\left(\sqrt{14} \right)^{2}} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ &=\left( \dfrac{7}{14} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\ &=\left( \dfrac{1}{2} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai $(A)\ \frac{1}{2}\left(3,\ 1,\ 2 \right) $

42. Soal SNMPTN 2009 Kode 276 |*Tanya Eksemplar

Mudahmudahan vektor $\vec{a}= 2\vec{i}+p\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{b}= 3\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}$ saling agak kelam lurus, maka kredit $p$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -8 \\ (D)\ & -9 \\ (E)\ & -10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ sehingga dapat kita songsong: \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ \left(2,\ p,\ 1 \right) \cdot \left(3,\ 2,\ 4 \right) &= 0 \\ (2)(3)+(p)(2)+(1)(4) &= 0 \\ 6+2p+4 &= 0 \\ 10+2p &= 0 \\ p &= -5 \end{align}

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(B)\ -5$

43. Soal SNMPTN 2009 Kode 376 |*Soal Lengkap

Diketahui segitiga $Aksara$. Noktah $P$ di tengah $AC$, dan $Q$ lega $BC$ sehingga $BQ=QC$. Jika vektor $\vec{AB}=\vec{c}$, $\vec{AC}=\vec{b}$, dan $\vec{BC}=\vec{a}$, maka $\vec{PQ}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2}\left( -\vec{a}+\vec{b} \right) \\ (B)\ & \frac{1}{2}\left( \vec{a}-\vec{b} \right) \\ (C)\ & \frac{1}{2}\left( -\vec{a}+\vec{c} \right) \\ (D)\ & \frac{1}{2}\left( \vec{b}+\vec{c} \right) \\ (E)\ & \frac{1}{2}\left( \vec{b}-\vec{c} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Sekiranya kita gambar situasi bintik-bintik pada soal dapat seperti berikut:

Dari rangka di atas boleh kita peroleh: \begin{align} \vec{PQ} &= \vec{PC}+\vec{CQ} \\ \vec{PQ} &= \frac{1}{2}\vec{AC}-\vec{QC} \\ \vec{PQ} &= \frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{BC} \\ \vec{PQ} &= \frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a} \end{align}

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2}\left( -\vec{a}+\vec{b} \right)$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya berlatih, Maka anda harus bersedia dan menerima pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Vektor di atas yaitu garitan kreatif siswa lega:

• lembar jawaban penilaian kronik ilmu hitung,
• tali jawaban penilaian akhir semester matematika,
• pengutaraan hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Buat segala apa sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Vektor silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Kerjakan Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN Musim INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Soal Dan Pembahasan Vektor Matematika Kelas 10,

Source: https://www.defantri.com/2021/06/soal-pembahasan-vektor-sbmptn.html

Posted by: DuvallVoutter.blogspot.com

Share this post